Космический ландшафт - Страница 87

Компактификация

Проще всего объяснить явление компактификации на примере двумерной поверхности. Представим себе пространство в виде плоского листа бумаги, неограниченно простирающегося во всех направлениях. Но это только один из вариантов двумерного пространства. Вспомните, как при разговоре о Вселенной Эйнштейна и Вселенной Фридмана мы представляли пространство в виде поверхности сферы, – независимо от того, в каком направлении вы будете двигаться в таком пространстве, в конце концов вы вернётесь в исходную точку.

Эйнштейн и Фридман представляли пространство в виде гигантской сферы, достаточно большой, чтобы на протяжении миллиардов световых лет на вашем пути не встретилась дважды одна и та же галактика. Но теперь представьте себе, что мы начали сжимать эту сферу: и вот она становится всё меньше и меньше, в ней уже едва помещается человек. Продолжим сжатие сферы до размера молекулы, атома, протона… В конце концов такую сферу будет уже невозможно отличить от точки – пространства, не имеющего ни одного измерения, в котором можно двигаться. Это простейший пример компактификации пространства.

Можем ли мы выбрать для двумерного пространства такую форму, чтобы оно выглядело как одномерное? Можно ли спрятать одно из двух измерений двумерного листа бумаги? Легко. Для начала вырежем из бесконечного плоского листа бумаги полосу бесконечной длины в направлении x, но конченой ширины, скажем 10 см, в направлении y. Теперь свернём эту полосу в бесконечный цилиндр, так чтобы ось цилиндра была направлена в направлении x. Получившийся цилиндр будет компактным (конечным) в направлении y и бесконечным в направлении x.

Сворачивание полосы в цилиндр

Если же вместо полосы шириной 10 см мы свернём в цилиндр полосу шириной 1 мкм (1/10 000 см), то такой цилиндр при взгляде на него невооружённым глазом будет выглядеть как одномерное пространство, как бесконечно тонкий «волос». И только положив его под микроскоп, мы сможем убедиться, что на самом деле поверхность этого цилиндра двумерная. Вот вам и пример того, как двумерное пространство можно замаскировать под одномерное.

Предположим далее, что мы уменьшили длину окружности цилиндра до планковской длины. Для таких размеров уже не существует микроскопа, способного разрешить второе измерение. Для всех практических целей это пространство будет одномерным. Процесс, позволяющий сделать некоторые из размерностей компактными, оставив остальные бесконечными, и называется компактификацией.

Теперь несколько усложним картину. Возьмём трёхмерное пространство с тремя координатными осями: x, y и z. Оставим x– и y-координаты простирающимися неограниченно, а z-координату свернём. Это трудно представить, но принципиально это не отличается от сворачивания полоски в цилиндр. Двигаясь в направлении x или y, вы можете удалиться неограниченно далеко, но двигаясь в направлении z, пройдя некоторое расстояние, возвратитесь в исходную точку. Если это расстояние микроскопически мало, то получившееся пространство будет выглядеть как двумерное.

Пойдём немного дальше и компактифицируем два измерения: y и z. На некоторое время полностью забудем про x-размерность и рассмотрим две оставшиеся. Для начала мы можем свернуть их в 2-сферу. В этом случае вы смогли бы сколь угодно далеко двигаться вдоль x-направления, а путешествие вдоль координат y и z будет похоже на путешествие по поверхности глобуса. Опять же, если этот «глобус» имеет микроскопические размеры, то получившееся пространство трудно будет без микроскопа отличить от одномерного. Как вы видите, действуя подобным образом, можно свернуть в компактное пространство какое угодно количество измерений.

2-сфера – это не единственный способ компактификации двух измерений. Ещё одним простым способом является использование для этой цели тора. Если 2-сфера представляет собой поверхность мяча, то тор – это поверхность бублика. Существует ещё множество других топологических форм, которые можно использовать для компактификации, но тор является наиболее общим случаем.

Вернёмся к цилиндру и представим частицу, движущуюся по его поверхности. Эта частица может неограниченно двигаться в любую сторону вдоль оси x, точно так же, как если бы это было одномерное пространство. При этом мы можем вычислить скорость, с которой движется частица. Но ведь частица может двигаться не только вдоль оси x, но и вдоль свёрнутой оси y. В этом скрытом микроскопическом направлении у частицы тоже будет какая-то скорость. Итак, частица может двигаться в x-направлении, в y-направлении или в обоих направлениях одновременно. В последнем случае движение частицы будет иметь форму микроскопического штопора, навитого на ось x. Частица будет двигаться в направлении x, одновременно вращаясь вокруг неё. Для наблюдателя, разрешающей способности приборов которого недостаточно, чтобы наблюдать движение в y-направлении, это дополнительное движение представляется в виде некоего особого свойства частицы. Частица, которая дополнительно движется в y-направлении, отличается от частицы, которая движется только в x-направлении, но причина этого различия скрыта от нас малостью y-измерения. Как бы мы могли интерпретировать это новое свойство частицы?

Идея существования в пространстве дополнительных ненаблюдаемых направлений отнюдь не нова. Впервые она появилась ещё в начале XX века, вскоре после завершения Эйнштейном общей теории относительности. Современник Эйнштейна Теодор Франц Эдуард Калуца задался именно этим вопросом: как повлияет на физические явления существование дополнительного крошечного измерения? В те времена были известны два фундаментальных физических взаимодействия: электромагнитное и гравитационное. Они во многом похожи, но эйнштейновская теория гравитации выглядела более глубокой, чем максвелловская электродинамика. Гравитация у Эйнштейна сводилась к геометрическому искажению пространства-времени, в то время как теория Максвелла выглядела произвольной надстройкой над физическим миром, не имеющей никаких фундаментальных причин быть именно такой, какая она есть. Но геометрия пространства-времени описывает только свойства гравитационного поля, и ничего более. Чтобы электричество и магнетизм можно было каким-то образом объединить с гравитацией, основные геометрические свойства пространства должны быть более сложными, чем это представлялось Эйнштейну.